Математическая статистика

Пусть (x₁, y₁),…,(x_n, y_n) – выборка наблюдений двумерного случайного вектора (X, Y), имеющего распределение F_XY(x, y).

Ранговым коэффициентом корреляции по Кендаллу (Maurice Kendall, 1938) называется ранговая статистика, определяемая следующим выражением:

где N⁺ – число пар наблюдений (x_i, y_i), (x_j, y_j), $i>j$, для которых выполнено условие $({{x}_{i}}-{{x}_{j}})({{y}_{i}}-{{y}_{j}})>0$, N^– – число пар наблюдений (x_i, y_i), (x_j, y_j), $i>j$, для которых выполнено условие $({{x}_{i}}-{{x}_{j}})({{y}_{i}}-{{y}_{j}})<0$. Иными словами, N⁺ – это число наблюдаемых пар, у которых имеется одинаковая тенденция к изменению по обоим признакам: либо при увеличении значения одного увеличивается значение другого, либо при уменьшении значения одного уменьшается значение другого. N^– – это число наблюдаемых пар с противоположными тенденциями к изменению. Ранговый коэффициент корреляции по Кендаллу также называют «тау Кендалла» (Kendall’s tau coefficient).

Отсортируем результаты наблюдений в порядке возрастания значений признака X. Тогда выборкой рангов признака X будет последовательность натуральных чисел 1,2,…,n (если все наблюдения x₁,…,x_n различны). Соответствующую выборку рангов признака Y обозначим s₁,…,s_n.

На практике для расчёта выборочного значения рангового коэффициента корреляции по Кендаллу используют формулу:

где $Q=\sum\limits_{i=1}^{n-1}{{{Q}_{i}}}$,

количество рангов в выборке ${{s}_{i+1}},...,{{s}_{n}}$, больших, чем s_i.

Примечание. Использование формулы (2) даёт верный результат лишь для случая, когда в выборках x₁,…,x_n и y₁,…,y_n отсутствуют повторяющиеся элементы. Однако при небольшом их количестве этой погрешностью на практике можно пренебречь.

Свойства и интерпретация рангового коэффициента корреляции по Кендаллу аналогичны свойствам и интерпретации рангового коэффициента корреляции по Спирмену. Так, при функциональной монотонно возрастающей зависимости между случайными величинами X и Y $\tau _{XY}^{{}}=1$, при монотонно убывающей: $\tau _{XY}^{{}}=-1$. Для независимых случайных величин X и Y математическое ожидание $\text{M}\left[ \tau _{XY}^{{}}\right]=0$.

Выборочные значения коэффициента корреляции по Спирмену, как правило, получаются выше (по абсолютной величине) выборочных значений коэффициента корреляции по Кендаллу. Этот эффект связан с большей чувствительностью первого коэффициента к несоответствию в тенденциях изменений значений признаков.

Для проверки значимости рангового коэффициента корреляции по Спирмену сформулируем основную гипотезу:

${{H}_{0}}:\tau _{XY}^{{}}=0$.

В качестве статистики критерия используют статистику

$Z=\tilde{\tau }_{XY}^{{}}\sqrt{\frac{9n(n+1)}{2(2n+5)}}$,

которая при условии истинности H₀ и большом объёме выборки (n > 30) аппроксимируется стандартизованным нормальным распределением: ${{f}_{Z}}(z|{{H}_{0}})\sim N(0,\ 1)$.

Критическая область для статистики критерия выбирается, исходя из вида альтернативной гипотезы.

Пример 1