Математическая статистика

Точность работы станка-автомата проверяется по среднеквадратичному отклонению контролируемого размера деталей, которое не должно превышать ${{\sigma }_{0}}=0,15$ мм. Взята проба из n = 25 случайно отобранных деталей, получены следующие результаты измерений:

Предполагая, что размер деталей имеет нормальное распределение, проверить на уровне значимости 10%, обеспечивает ли станок требуемую точность.

Решение

Сформулируем основную и альтернативную статистические гипотезы:

${{H}_{0}}:\sigma _{0}^{{}}=0,15,$
$H':\sigma _{0}^{{}}>0,15.$

Если основная гипотеза H₀ будет отвергнута в пользу альтернативной H’, это будет означать, что выборочные наблюдения противоречат утверждению о точности работы станка-автомата. Если же основная гипотеза H₀ будет принята, то оснований считать, что станок не обеспечивает требуемую точность, не будет.

Статистика критерия для данной гипотезы $Z=\frac{(n-1)S_{{}}^{2}}{\sigma _{0}^{2}}$.

Рассчитаем её выборочное значение:

$\bar{x}=\frac{1}{25}\left( 3,15*3+...+4,35*1 \right)\approx 3,71$;

${{s}^{2}}=\frac{1}{25}\left( {{(3,15-3,71)}^{2}}*3+...+{{(4,35-3,71)}^{2}}*1 \right)\approx 0,036$;

$s=\sqrt{0,036}\approx 0,19$;

$z=\frac{24*0,036}{0,0225}\approx 38,4$;

Гипотеза H₀ должна отвергаться в пользу альтернативной гипотезы H’, если дисперсия σ > 0,15. В этом случае с высокой вероятностью оценка дисперсии S > 0,15, т.е. статистика критерия будет принимать большие значения Z > 1. Это означает, что критическая область должна выбираться в области больших маловероятных при условии истинности H₀ значений, т.е. являться правосторонней.

Критическая точка при правосторонней критической области – квантиль распределения χ²(24) на уровне (1 – α) – находим по таблице:

${{z}_{0,9}}\approx 33,2$.

Таким образом, область допустимых значений ${{\Omega }_{0}}=(-\infty ;33,2)$, критическая область $\Omega '=[33,2;+\infty )$. Поскольку $z=38,4\in \Omega '$, то гипотеза H₀ должна быть отвергнута. Делаем вывод, что экспериментальные данные противоречат гипотезе о том, что станок-автомат обладает требуемой точностью.

Экспериментальное исследование

В условиях Примера 2* выдвигается предположение о том, что элементы микросхем, выпускаемые на первой технологической линии, имеют положительную систематическую погрешность в размере по сравнению с элементами, выпускаемыми на второй линии. Проверить эту гипотезу на уровне значимости α = 0,05.

Решение

Сформулируем основную и альтернативную статистические гипотезы:

${{H}_{0}}:{{m}_{1}}={{m}_{2}},$
$H':{{m}_{1}}>{{m}_{2}}.$

Если основная гипотеза H₀ будет отвергнута в пользу альтернативной H’, это будет означать, что выборочные наблюдения размеров элементов противоречат утверждению об отсутствии систематического превышения размеров элементов, выпущенных на первой линии. Если же основная гипотеза H₀ будет принята, то оснований считать, что размер элементов, выпущенных на первой технологической линии, имеет систематическую положительную погрешность, не будет.

В связи с тем, что дисперсии размеров элементов не известны проверим предварительно гипотезу о равенстве дисперсий на том же уровне значимости α:

${{G}_{0}}:{{\sigma }_{1}}={{\sigma }_{2}},$
$G':{{\sigma }_{1}}\ne {{\sigma }_{2}}.$

Статистика критерия $Z=\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}$, выборочное значение которой $z\approx \frac{0,0061}{0,0064}\approx 0,95$.

Объёмы выборок n₁ = 70, n₂ = 70. При условии истинности G₀ статистика $Z{{|}_{{{G}_{0}}}}\sim{\ }F(69,69)$.

Поскольку альтернативная гипотеза G’ содержит знак неравенства, критическая область для статистики Z является двусторонней. Критические точки – квантили распределения Фишера $F(69,69)$ на уровнях α/2 и (1 – α/2) – находим по таблице:

${{z}_{0,025}}\approx 1/1,67\approx 0,6,$
${{z}_{0,975}}\approx 1,67.$

Таким образом, область допустимых значений ${{\Omega }_{0}}=(0,6;1,67)$. Поскольку $z=0,95\in {{\Omega }_{0}}$, то оснований считать, что гипотеза G₀ не согласуется с экспериментальными данными, нет.

При проверке гипотезы H₀ будем считать, что дисперсии размеров элементов микросхем, производимых на двух технологических линиях равны $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{{}}^{2}$. Считая, что дисперсия является мерой точности технологической линии, это статистическое решение означает, что нет оснований утверждать, что какая-либо из технологических линий более точна по сравнению с другой.

Рассчитаем объединённую оценку дисперсии σ² по двум выборкам:

${{s}^{2}}=\frac{({{n}_{1}}-1)s_{1}^{2}+({{n}_{2}}-1)s_{2}^{2}}{{{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2}\approx \frac{69*0,0061+69*0,0064}{70+70-2}=\frac{0,0061+0,0064}{2}=0,00625$

и выборочное значение статистики критерия

$z=\frac{{{{\bar{x}}}_{1}}-{{{\bar{x}}}_{2}}}{s\sqrt{{1}/{{{n}_{1}}}\;+{1}/{{{n}_{2}}}\;}}\approx \frac{0,251-0,249}{0,08*0,17}\approx 0,147.$

При условии истинности H₀ статистика Z имеет распределение Стьюдента T(138), которое с высокой точностью может быть аппроксимировано стандартизованным нормальным распределением N(0; 1).

Альтернативная гипотеза H’ должна приниматься, если m₁ > m₂. В этом случае с высокой вероятностью выполнится неравенство ${{\bar{x}}_{1}}>{{\bar{x}}_{2}}$, т.е. статистика Z примет положительные значения, причём тем большие, чем больше разница между ${{\bar{x}}_{1}}$ и ${{\bar{x}}_{2}}$. Таким образом, критическая область должна выбираться в области положительных, маловероятных при условии истинности H₀, значений, т.е. являться правосторонней.

Критическая точка при правосторонней критической области – квантиль стандартизованного нормального распределения на уровне 1 – α находим по таблице:

${{z}_{0,95}}\approx 1,65$.

Таким образом, область допустимых значений ${{\Omega }_{0}}=(-\infty ;1,65)$. Поскольку $z=0,147\in {{\Omega }_{0}}$, то гипотеза H₀ должна приниматься. Делаем вывод, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе о том, что положительного смещения в размере элементов микросхем, выпускаемых на первой технологической линии, нет. Иными словами, по данной выборке наблюдений нет оснований считать, что имеется положительное смещение.

В условиях Примера 2 проверить гипотезу о равенстве размеров элементов микросхем, выпускаемых на двух технологических линиях, методом доверительных интервалов на уровне значимости α = 0,05.

Решение

Правосторонний доверительный интервал для разности математических ожиданий m₁ – m₂ на уровне значимости α имеет вид:

$\left( ({{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}})-{{t}_{1-\alpha }}({{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2)S\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}};+\infty \right)$.

Рассчитаем границу:

${{\bar{x}}_{1}}-{{\bar{x}}_{2}}=0,251-0,249=0,002$;

${{t}_{1-\alpha }}(138)*S\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}\approx 1,65*0,08*0,17\approx 0,022$;

$(0,002-0,022;+\infty )=(-0,020;+\infty )$.

Так как доверительный интервал накрывает 0, то основная гипотеза H₀ должна приниматься. Оснований считать, что есть положительное смещение размеров элементов, выпускаемых на первой технологической линии, нет, что совпадает с результатом, полученным в Примере 2.