Математическая статистика

Пример 1

В условиях Примера 2* найти доверительный интервал для средней по генеральной совокупности продолжительности горения лампочек с доверительной вероятностью 95%.

Решение

Поскольку дисперсия времени горения лампочек неизвестна, то доверительный интервал для математического ожидания времени горения лампочек (среднего времени по генеральной совокупности) имеет вид:

$\left( \bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}{{t}_{1-\alpha /2}}(n-1);\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}{{t}_{1-\alpha /2}}(n-1) \right)$.

Для расчёта реализации доверительного интервала для данной выборки необходимо рассчитать реализации $\bar{x}$ и σ.

Среднюю по выборке продолжительность горения лампочек рассчитываем как среднее арифметическое взвешенное (Пример 3*):

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{k}{{{c}_{i}}{{n}_{i}}}=960$;

Аналогично для исправленной дисперсии:

${{s}^{2}}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{k}{{{({{c}_{i}}-\bar{x})}^{2}}{{n}_{i}}}=\frac{{{50}^{2}}\cdot 8+{{30}^{2}}\cdot 15+...+{{50}^{2}}\cdot 7}{99}\approx 683$;

$s=\sqrt{683}\approx 26$.

По таблице определяем квантиль распределения Стьюдента ${{t}_{0,975}}(99)=1,99$. Таким образом, с вероятностью 95% можем утверждать, что средняя продолжительность горения лампочек во всей партии лежит в интервале:

$m\in \left( 960-\frac{26}{10}1,99;960+\frac{26}{10}1,99 \right)\approx (954,8;965,2)$.

Пример 2

Исследуется качество производства элементов интегральной микросхемы на двух технологических линиях. Мерой качества производства является дисперсия размера элементов. В таблице представлены группированные выборочные данные размеров элементов.

Предполагая, что размеры элементов микросхемы являются нормально распределёнными случайными величинами, построить доверительный интервал для отношения дисперсий размеров элементов микросхемы, произведённых на двух технологических линиях, на уровне значимости 5%.

Решение

Поскольку математические ожидания размера производимых элементов не известны, формула расчёта доверительного интервала имеет вид:

$\left( \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}f_{\alpha /2}^{{}}({{n}_{2}}-1,{{n}_{1}}-1);\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}f_{1-\alpha /2}^{{}}({{n}_{2}}-1,{{n}_{1}}-1)\right)$.

Рассчитаем исправленные оценки дисперсий $s_{1}^{2}$ и $s_{2}^{2}$.

${{\bar{x}}_{1}}=\frac{1}{70}\left( 0,235\cdot 5+...+0,275\cdot 2 \right)\approx 0,251$;

${{\bar{x}}_{2}}=\frac{1}{70}\left( 0,235\cdot 10+...+0,275\cdot 2 \right)\approx 0,249$;

$s_{1}^{2}=\frac{1}{69}\left( {{(0,235-0,251)}^{2}}\cdot 5+...+{{(0,275-0,251)}^{2}}\cdot 2 \right)\approx 0,0061;$

${{s}_{1}}\approx 0,078$;

$s_{2}^{2}=\frac{1}{69}\left( {{(0,235-0,249)}^{2}}\cdot 10+...+{{(0,275-0,249)}^{2}}\cdot 2 \right)\approx 0,0064;$

${{s}_{2}}\approx 0,081$;

По таблице определяем квантили распределения Фишера ${{f}_{0,975}}(69,69)=1,67$, ${{f}_{0,025}}(69,69)=1/1,67=0,6$. Таким образом, с вероятностью 95% можем утверждать, что отношение дисперсий размеров элементов микросхемы лежит в интервале

$\frac{\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}\in \left( \frac{0,0061}{0,0064}\cdot 0,6;\frac{0,0061}{0,0064}\cdot 1,67 \right)\approx (0,57;1,59)$.