Математическая статистика

Анализ статистических взаимосвязей

Ранговый коэффициент корреляции по Спирмену

Пример 1

Рассчитать ранги элементов выборки

xi

1,2

1,6

2,2

0,8

1,2

1,4

1,6

1,6

Решение

Построим для выборки вариационный ряд.

i

1

2

3

4

5

6

7

8

x(i)

0,8

1,2

1,2

1,4

1,6

1,6

1,6

2,2

ri

1

2,5

2,5

4

6

6

6

8

В связи с тем, что значение 1,2 встречается в вариационном ряду 2 раза (под номерами 2 и 3), ранги соответствующих элементов выборки полагаются равными (2+3) / 2 = 2,5. Аналогично рассчитываются ранги элементов, равных 1,6.


Пример 2

10 школьникам были даны тесты на наглядно-образное и вербальное мышление. Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Психолога интересует вопрос: существует ли взаимосвязь между временем решения этих задач?

№ школьника

Среднее время решения тестов на наглядно-образное мышление X, с

Среднее время решения тестов на вербальное мышление Y, с

1

19

15

2

12

7

3

32

17

4

17

14

5

14

8

6

25

15

7

15

8

8

35

17

9

29

16

10

27

16

Решение

Обозначим X – среднее время решения тестов на наглядно-образное мышление, Y – среднее время решения тестов на вербальное мышление. Объём выборки n = 10.

Для оценки взаимосвязи между признаками X и Y рассчитаем коэффициент корреляции:

$\rho _{XY}^{*}\approx 0,87$.

Полученное значение говорит о довольно сильной линейной корреляционной связи между X и Y.

Проверим связь между X и Y на монотонность. Для этого составим выборку рангов и рассчитаем ранговый коэффициент корреляции по Спирмену по формуле (4).

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ri

5

1

9

4

2

6

3

10

8

7

si

5,5

1

9,5

4

2,5

5,5

2,5

9,5

7,5

7,5

$\tilde{\rho }_{XY}^{(sp)}=1-\frac{6}{10\cdot 99}\left( {{(5-5,5)}^{2}}+...+{{(7-7,5)}^{2}} \right)\approx 0,99$.

Полученное значение практически равно 1, следовательно, между признаками X и Y имеется практически функциональная монотонно возрастающая зависимость. Близость полученного значения к значению коэффициента линейной корреляции означает, что эта монотонная зависимость может быть аппроксимирована линейной зависимостью с высокой степенью точности.

Таким образом, между средним временем решения заданий теста на наглядно-образное и вербальное мышление имеется практически функциональная монотонно возрастающая связь.