Математическая статистика

Пусть X₁,…,X_n – случайная выборка объёма n из нормально распределённой генеральной совокупности N(m, σ). Рассмотрим варианты построения доверительных интервалов для математического ожидания m и дисперсии σ².

1. Доверительный интервал для математического ожидания m при известной дисперсии σ².

В качестве центральной статистики выберем стандартизованное среднее $U=\frac{\bar{X}-m}{{\sigma }/{\sqrt{n}}\;}\sim{\ }N(0,1)$. При таком выборе центральной статистики доверительный интервал для математического ожидания на уровне значимости α имеет вид:

$\left( \bar{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{{u}_{1-\alpha /2}};\bar{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{{u}_{1-\alpha /2}} \right)$.

2. Доверительный интервал для математического ожидания m при неизвестной дисперсии σ².

В качестве центральной статистики выберем стандартизованное среднее $T=\frac{\bar{X}-m}{{S}/{\sqrt{n}}\;}\sim{\ }T(n-1)$. Запишем тождество (1*) для статистики T:

$P\left( {{t}_{\alpha /2}}(n-1)<\frac{\bar{X}-m}{{S}/{\sqrt{n}}\;}<{{t}_{1-\alpha /2}}(n-1) \right)=1-\alpha $,

где ${{t}_{\alpha /2}}(n-1)$ и ${{t}_{1-\alpha /2}}(n-1)$ – квантили распределения Стьюдента с n–1 степенями свободы на уровнях α/2 и 1­–α/2 соответственно.

Разрешая неравенство под знаком вероятности относительно m и учитывая симметричность распределения Стьюдента, получим:

$P\left( \bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}{{t}_{1-\alpha /2}}(n-1)<m<\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}{{t}_{1-\alpha /2}}(n-1) \right)=1-\alpha $,

откуда следует, что интервал

$\left( \bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}{{t}_{1-\alpha /2}}(n-1);\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}{{t}_{1-\alpha /2}}(n-1) \right)$

является доверительным для m на уровне значимости α.

3. Доверительный интервал для дисперсии σ² при известном математическом ожидании m.

В качестве центральной статистики выберем статистику $\frac{n}{{{\sigma }^{2}}}S_{0}^{2}\sim{\ }{{\chi }^{2}}(n)$. Запишем тождество (1*):

$P\left( \chi _{\alpha /2}^{2}(n)<\frac{n}{{{\sigma }^{2}}}S_{0}^{2}<\chi _{1-\alpha /2}^{2}(n) \right)=1-\alpha $,

где $\chi _{\alpha /2}^{2}(n)$ и $\chi _{1-\alpha /2}^{2}(n)$ – квантили распределения хи-квадрат с n степенями свободы на уровнях α/2 и 1­–α/2 соответственно.

Разрешая неравенство под знаком вероятности относительно σ², получим:

$P\left( \frac{nS_{0}^{2}}{\chi _{1-\alpha /2}^{2}(n)}<{{\sigma }^{2}}<\frac{nS_{0}^{2}}{\chi _{\alpha /2}^{2}(n)} \right)=1-\alpha $,

откуда следует, что интервал $\left( \frac{nS_{0}^{2}}{\chi _{1-\alpha /2}^{2}(n)};\frac{nS_{0}^{2}}{\chi _{\alpha /2}^{2}(n)} \right)$ является доверительным для σ² на уровне значимости α.

4. Доверительный интервал для дисперсии σ² при неизвестном математическом ожидании m.

В качестве центральной статистики выберем статистику $\frac{n-1}{{{\sigma }^{2}}}{{S}^{2}}\sim{\ }{{\chi }^{2}}(n-1)$. Запишем тождество (1*):

$P\left( \chi _{\alpha /2}^{2}(n-1)<\frac{n-1}{{{\sigma }^{2}}}{{S}^{2}}<\chi _{1-\alpha /2}^{2}(n-1) \right)=1-\alpha $,

где $\chi _{\alpha /2}^{2}(n-1)$ и $\chi _{1-\alpha /2}^{2}(n-1)$ – квантили распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы на уровнях α/2 и 1­–α/2 соответственно.

Разрешая неравенство под знаком вероятности относительно σ², получим:

$P\left( \frac{(n-1)S_{{}}^{2}}{\chi _{1-\alpha /2}^{2}(n-1)}<{{\sigma }^{2}}<\frac{(n-1)S_{{}}^{2}}{\chi _{\alpha /2}^{2}(n-1)} \right)=1-\alpha$,

откуда следует, что интервал $\left( \frac{(n-1)S_{{}}^{2}}{\chi _{1-\alpha /2}^{2}(n-1)};\frac{(n-1)S_{{}}^{2}}{\chi _{\alpha /2}^{2}(n-1)} \right)$ является доверительным для σ² на уровне значимости α.

Рассмотрим теперь варианты построения доверительных интервалов, связанных с двумя выборками. Пусть ${{X}_{11}},...,{{X}_{1,{{n}_{1}}}}$ и ${{X}_{21}},...,{{X}_{2,{{n}_{2}}}}$ – случайные выборки объёмов n₁ и n₂ из нормально распределённых генеральных совокупностей N(m₁, σ₁) и N(m₂, σ₂) соответственно.

5. Доверительный интервал для разности математических ожиданий m₁ – m₂ при известных дисперсиях $\sigma _{1}^{2}$ и $\sigma _{2}^{2}$.

В качестве центральной статистики выберем стандартизованную разность средних при известных дисперсиях:

$U=\frac{({{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}})-({{m}_{1}}-{{m}_{2}})}{\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{{{n}_{1}}}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{{{n}_{2}}}}}\sim N(0,1)$.

Запишем тождество (1*):

$P\left( {{u}_{\alpha /2}}<\frac{({{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}})-({{m}_{1}}-{{m}_{2}})}{\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{{{n}_{1}}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{{{n}_{2}}}}}<{{u}_{1-\alpha /2}} \right)=1-\alpha $,

где ${{u}_{\alpha /2}}$ и ${{u}_{1-\alpha /2}}$ – квантили стандартизованного нормального распределения на уровнях α/2 и 1­–α/2 соответственно.

Разрешая неравенство под знаком вероятности относительно m₁ – m₂ и учитывая симметричность нормального распределения, получим:

$P\left( ({{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}})-{{u}_{1-\alpha /2}}\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{{{n}_{1}}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{{{n}_{2}}}}<{{m}_{1}}-{{m}_{2}}< \right.$

$<\left.({{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}})+{{u}_{1-\alpha/2}}\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{{{n}_{1}}}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{{{n}_{2}}}} \right)=1-\alpha$,

откуда следует, что интервал

$\left( ({{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}})-{{u}_{1-\alpha /2}}\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{{{n}_{1}}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{{{n}_{2}}}};({{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}})+{{u}_{1-\alpha /2}}\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{{{n}_{1}}}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{{{n}_{2}}}}\right)$

является доверительным для m₁ – m₂ на уровне значимости α.

6. Доверительный интервал для разности математических ожиданий m₁ – m₂ при неизвестных равных дисперсиях $\sigma =\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$.

В качестве центральной статистики выберем стандартизованную разность средних при неизвестных равных дисперсиях

$T=\frac{({{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}})-({{m}_{1}}-{{m}_{2}})}{S\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}\sim T({{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2)$.

Запишем тождество (1*):

$P\left( {{t}_{\alpha /2}}({{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2)<\right.\frac{({{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}})-({{m}_{1}}-{{m}_{2}})}{S\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}<$

$\left.<{{t}_{1-\alpha/2}}({{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2) \right)=1-\alpha$,

где ${{t}_{\alpha /2}}({{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2)$ и ${{t}_{1-\alpha /2}}({{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2)$ – квантили распределения Стьюдента с n₁+n₂–2 степенями свободы на уровнях α/2 и 1­–α/2 соответственно.

Разрешая неравенство под знаком вероятности относительно m₁ – m₂ и учитывая симметричность распределения Стьюдента, получим:

$P\left( ({{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}})-{{t}_{1-\alpha/2}}({{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2)S\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}<{{m}_{1}}-{{m}_{2}}< \right.$

$\left. <({{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}})+{{t}_{1-\alpha /2}}({{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2)S\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}\right)=1-\alpha$,

откуда следует, что интервал

$\left( ({{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}})-{{t}_{1-\alpha /2}}({{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2)S\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}} \right.$;

$\left. ({{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}})+{{t}_{1-\alpha/2}}({{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2)S\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}} \right)$

является доверительным для m₁ – m₂ на уровне значимости α.

7. Доверительный интервал для отношения дисперсий $\sigma _{1}^{2}/\sigma _{2}^{2}$ при известных математических ожиданиях m₁ и m₂.

В качестве центральной статистики выберем статистику ${{F}_{0}}=\frac{S_{01}^{2}/\sigma _{1}^{2}}{S_{02}^{2}/\sigma _{2}^{2}}\sim F({{n}_{1}},{{n}_{2}})$.

Запишем тождество (1*):

$P\left( {{f}_{\alpha /2}}({{n}_{1}},{{n}_{2}})<\frac{S_{01}^{2}/\sigma _{1}^{2}}{S_{02}^{2}/\sigma _{2}^{2}}<{{f}_{1-\alpha/2}}({{n}_{1}},{{n}_{2}}) \right)=1-\alpha $,

где ${{f}_{\alpha /2}}({{n}_{1}},{{n}_{2}})$ и ${{f}_{1-\alpha /2}}({{n}_{1}},{{n}_{2}})$ – квантили распределения Фишера с n₁ и n₂ степенями свободы в числителе и в знаменателе на уровнях α/2 и 1­–α/2 соответственно.

Разрешая неравенство под знаком вероятности относительно $\sigma _{1}^{2}/\sigma _{2}^{2}$ и учитывая, что ${{f}_{\alpha/2}}({{n}_{1}},{{n}_{2}})=\frac{1}{{{f}_{1-\alpha /2}}({{n}_{2}},{{n}_{1}})}$, получим:

$P\left( \frac{S_{01}^{2}}{S_{02}^{2}}f_{\alpha /2}^{{}}({{n}_{2}},{{n}_{1}})<\frac{\sigma _{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}<\frac{S_{01}^{2}}{S_{02}^{2}}f_{1-\alpha /2}^{{}}({{n}_{2}},{{n}_{1}}) \right)=1-\alpha $,

откуда следует, что интервал

$\left( \frac{S_{01}^{2}}{S_{02}^{2}}f_{\alpha /2}^{{}}({{n}_{2}},{{n}_{1}});\frac{S_{01}^{2}}{S_{02}^{2}}f_{1-\alpha /2}^{{}}({{n}_{2}},{{n}_{1}})\right)$

является доверительным для $\sigma _{1}^{2}/\sigma _{2}^{2}$ на уровне значимости α.

8. Доверительный интервал для отношения дисперсий $\sigma _{1}^{2}/\sigma _{2}^{2}$ при неизвестных математических ожиданиях m₁ и m₂.

В качестве центральной статистики выберем статистику ${{F}_{0}}=\frac{S_{1}^{2}/\sigma _{1}^{2}}{S_{2}^{2}/\sigma _{2}^{2}}\sim F({{n}_{1}}-1,{{n}_{2}}-1)$.

Запишем тождество (1*):

$P\left( {{f}_{\alpha /2}}({{n}_{1}}-1,{{n}_{2}}-1)<\frac{S_{1}^{2}/\sigma _{1}^{2}}{S_{2}^{2}/\sigma _{2}^{2}}<{{f}_{1-\alpha/2}}({{n}_{1}}-1,{{n}_{2}}-1) \right)=1-\alpha $,

где ${{f}_{\alpha /2}}({{n}_{1}}-1,{{n}_{2}}-1)$ и ${{f}_{1-\alpha /2}}({{n}_{1}}-1,{{n}_{2}}-1)$ – квантили распределения Фишера с n₁–1 и n₂–1 степенями свободы в числителе и в знаменателе на уровнях α/2 и 1­–α/2 соответственно.

Разрешая неравенство под знаком вероятности относительно $\sigma _{1}^{2}/\sigma _{2}^{2}$ и учитывая, что ${{f}_{\alpha/2}}({{n}_{1}},{{n}_{2}})=\frac{1}{{{f}_{1-\alpha /2}}({{n}_{2}},{{n}_{1}})}$, получим:

$P\left( \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}f_{\alpha /2}^{{}}({{n}_{2}}-1,{{n}_{1}}-1)<\frac{\sigma _{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}<\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}f_{1-\alpha /2}^{{}}({{n}_{2}}-1,{{n}_{1}}-1) \right)=1-\alpha $,

откуда следует, что интервал

$\left( \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}f_{\alpha /2}^{{}}({{n}_{2}}-1,{{n}_{1}}-1);\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}f_{1-\alpha /2}^{{}}({{n}_{2}}-1,{{n}_{1}}-1)\right)$

является доверительным для $\sigma _{1}^{2}/\sigma _{2}^{2}$ на уровне значимости α.

Пример 1

Пример 2