Математическая статистика

Выборочные характеристики можно ввести и для выборок из многомерных генеральных совокупностей. Пусть (x₁, y₁),…,(x_n, y_n) – выборка наблюдений двумерного случайного вектора (X, Y), имеющего распределение F_XY(x, y). Пусть выборка содержит k различных пар наблюдений (вариантов) z₁,…,z_k, ${{z}_{i}}=({{x}_{i}},{{y}_{i}})$, причём вариант z_i встречается с частотой n_i, $i=\overline{1,k}$.

По аналогии с одномерным случаем введём случайный вектор дискретного типа $(X_{n}^{*},Y_{n}^{*})$, принимающий значения z₁,…,z_k с вероятностями, равными соответствующим относительным частотам, n₁ / n,…, n_k / n, т.е. $P\left( (X_{n}^{*}={{x}_{i}})\bigcap (Y_{n}^{*}={{y}_{i}}) \right)={{n}_{i}}/n$, $i=\overline{1,k}$.

Распределение случайного вектора $(X_{n}^{*},Y_{n}^{*})$ называется распределением двумерной выборки. Предварительное представление о распределении выборки можно получить, изображая элементы выборки точками на плоскости координат xOy. Это представление выборки называется диаграммой рассеяния (scatter plot).

Выборочными числовыми характеристиками двумерной выборки (x₁, y₁),…, (x_n, y_n) называются числовые характеристики случайного вектора $(X_{n}^{*},Y_{n}^{*})$. К таким характеристикам относятся, например, моменты случайного вектора.

Выборочный смешанный начальный момент порядка (q + r) равен:

где ${{p}_{i}}=P\left( (X_{n}^{*}={{x}_{i}})\bigcap (Y_{n}^{*}={{y}_{i}}) \right)$, а суммирование проводится по всем вариантам случайного вектора $(X_{n}^{*},Y_{n}^{*})$.

Учитывая, что случайный вектор $(X_{n}^{*},Y_{n}^{*})$ принимает вариант (x_i, y_i) с вероятностью, равной относительной частоте n_i этого наблюдения в выборке, и, представляя произведения $x_{i}^{q}y_{i}^{r}{{n}_{i}}$ как суммы n_i одинаковых слагаемых $x_{i}^{q}y_{i}^{r}$, $i=\overline{1,k}$, формула (1) может быть записана в виде:

$\alpha _{q,r}^{*}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{q}y_{i}^{r}}$.

Аналогично, выборочный смешанный центральный момент порядка (q + r) определяется формулой:

$\mu _{q,r}^{*}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{q}}{{({{y}_{i}}-\bar{y})}^{r}}}$.

Наиболее часто используемой числовой характеристикой двумерного вектора является коэффициент корреляции. Напомним, что для случайного вектора дискретного типа (X, Y) коэффициент корреляции r_XY определяется следующим образом:

где k_XY – ковариационный момент, по определению ${{k}_{XY}}=\mu _{1,1}^{(X,Y)}$.

Учитывая (2), определим выражение для выборочного коэффициента корреляции $\rho _{XY}^{*}$:

$\rho _{XY}^{*}=\frac{k_{XY}^{*}}{\sigma _{X}^{*}\sigma _{Y}^{*}}$,

где $k_{XY}^{*}$ – выборочный ковариационный момент:

$k_{XY}^{*}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-\bar{x})({{y}_{i}}-\bar{y})}$.

Для выборочных ковариационного момента и коэффициента корреляции применимы все тождества, справедливые для ковариационного момента и коэффициента корреляции случайного вектора дискретного типа. В частности, полезное на практике соотношение между выборочным ковариационным моментом и выборочным смешанным начальным моментом второго порядка:

Это равенство следует читать как «выборочный ковариационный момент равен разности между средним произведением и произведением средних».

Пример 1

Двумерная выборка может быть представлена в виде корреляционной таблицы. Корреляционная таблица (табл. 1.4) является аналогом группированного статистического ряда для одномерной выборки.

Для построения корреляционной таблицы отрезок [x₍₁₎; x_(n)], содержащий все наблюдения случайной величины X, разбивается на l непересекающихся интервалов [α₀ = x₍₁₎; α₁), [α₁; α₂),…, [α_l-1; α_l = x_(n)], как правило, одинаковой ширины h₁. Аналогично отрезок [y₍₁₎; y_(n)], содержащий все наблюдения случайной величины Y, разбивается на m непересекающихся интервалов [β₀ = β₍₁₎; β₁), [β₁; β₂),…, [β_m-1; β_m = y_(n)], как правило, одинаковой ширины h₂. Правые границы всех интервалов, за исключением последнего, задаются открытыми, чтобы исключить попадание граничных точек в соседний интервал.

Процедуру группировки двумерных выборочных наблюдений можно выполнить непосредственно по диаграмме рассеяния, нанеся на неё сетку горизонтальных и вертикальных прямых, взятых с постоянными шагами h₁ и h₂ и рассчитав частоты n_ij попадания выборочных точек в каждый прямоугольник.

${{G}_{ij}}=\{(x,y)|{{\alpha }_{i-1}}\le x<{{\alpha }_{i}};{{\beta }_{j-1}}\le y<{{\beta }_{j}}\}$, $i=\overline{1,l}$, $j=\overline{1,m}$.

Таблица 1.4

Корреляционная таблица

Очевидно, что сумма всех частот в корреляционной таблице равна объёму выборки $\sum\limits_{i}^{l}{\sum\limits_{j}^{m}{{{n}_{ij}}}}=n$.