Математическая статистика

При исследовании качества выпускаемой двумя предприятиями продукции проведено обследование 100 случайно отобранных изделий, произведённых каждым из предприятий. Среди изделий первого предприятия обнаружено 6 бракованных, среди изделий второго – 11. Можно ли утверждать на основе данного выборочного наблюдения, что процент брака в изделиях, выпускаемых обоими предприятиями, одинаков? Принять уровень значимости 10%.

Решение

Сформулируем основную и альтернативную статистические гипотезы:

${{H}_{0}}:{{p}_{1}}={{p}_{2}},$
$H':{{p}_{1}}\ne {{p}_{2}}.$

Если основная гипотеза H₀ будет отвергнута, это будет означать, что результаты наблюдений противоречат утверждению об одинаковом качестве производства изделий обоими предприятиями. Если же основная гипотеза H₀ будет принята, то оснований считать, что процент брака на предприятиях различен, не будет.

Рассчитаем выборочное значение статистики критерия:

${{h}_{1}}=6/100=0,06$;

${{h}_{2}}=11/100=0,11$;

$h=(6+11)/200=0,085$;

$z=\frac{0,06-0,11}{\sqrt{0,085*0,915}\sqrt{0,02}}\approx \frac{-0,05}{0,04}=-1,25$.

Так как альтернативная гипотеза содержит знак неравенства, то критическая область выбирается двусторонней. Используя таблицу квантилей стандартизованного нормального распределения, рассчитаем критические точки:

${{z}_{0,05}}\approx -1,65,$
${{z}_{0,95}}\approx 1,65.$

Таким образом, область допустимых значений ${{\Omega }_{0}}=(-1,65;1,65)$. Поскольку $z=-1,25\in {{\Omega }_{0}}$, то оснований считать, что гипотеза H₀ не согласуется с экспериментальными данными, нет. Иными словами, утверждать, что процент брака в изделиях, выпускаемых обоими предприятиями, различен, нельзя. Превышение числа бракованных изделий среди выпущенных первым предприятием обусловлено свойствами данных выборок, а не генеральных совокупностей, из которых эти выборки получены.

Экспериментальное исследование