Математическая статистика

Проверка статистических гипотез

Проверка гипотез о вероятности «успеха» в схеме Бернулли


Insert title here

Пример 1

При исследовании качества выпускаемой двумя предприятиями продукции проведено обследование 100 случайно отобранных изделий, произведённых каждым из предприятий. Среди изделий первого предприятия обнаружено 6 бракованных, среди изделий второго – 11. Можно ли утверждать на основе данного выборочного наблюдения, что процент брака в изделиях, выпускаемых обоими предприятиями, одинаков? Принять уровень значимости 10%.

Решение

Сформулируем основную и альтернативную статистические гипотезы:

${{H}_{0}}:{{p}_{1}}={{p}_{2}},$
$H':{{p}_{1}}\ne {{p}_{2}}.$

Если основная гипотеза H0 будет отвергнута, это будет означать, что результаты наблюдений противоречат утверждению об одинаковом качестве производства изделий обоими предприятиями. Если же основная гипотеза H0 будет принята, то оснований считать, что процент брака на предприятиях различен, не будет.

Рассчитаем выборочное значение статистики критерия:

${{h}_{1}}=6/100=0,06$;

${{h}_{2}}=11/100=0,11$;

$h=(6+11)/200=0,085$;

$z=\frac{0,06-0,11}{\sqrt{0,085*0,915}\sqrt{0,02}}\approx \frac{-0,05}{0,04}=-1,25$.

Так как альтернативная гипотеза содержит знак неравенства, то критическая область выбирается двусторонней. Используя таблицу квантилей стандартизованного нормального распределения, рассчитаем критические точки:

${{z}_{0,05}}\approx -1,65,$
${{z}_{0,95}}\approx 1,65.$

Таким образом, область допустимых значений ${{\Omega }_{0}}=(-1,65;1,65)$. Поскольку $z=-1,25\in {{\Omega }_{0}}$, то оснований считать, что гипотеза H0 не согласуется с экспериментальными данными, нет. Иными словами, утверждать, что процент брака в изделиях, выпускаемых обоими предприятиями, различен, нельзя. Превышение числа бракованных изделий среди выпущенных первым предприятием обусловлено свойствами данных выборок, а не генеральных совокупностей, из которых эти выборки получены.

Экспериментальное исследование