Математическая статистика

Для лечения больного врачи применяют инъекции биоактивного препарата. При этом проводится ежедневный анализ крови на содержание в ней нитроплазмидов, который дает случайное значение x в силу погрешности используемой методики. Дисперсия этого показателя известна и равна 0,35 ед². Допустимый средний уровень нитроплазмидов в крови, который допускает продолжение лечения, составляет 9 ед. При превышении этого уровня лечение должно быть прекращено. Ниже приводятся результаты анализов крови, выполненные в течение недели:

На основании этих данных сделать вывод о необходимости прекращения лечения, предполагая, что измеряемый уровень нитроплазмидов в крови имеет нормальное распределение. Принять уровень значимости α = 0,1.

Решение

Пусть случайная величина X – уровень нитроплазмидов в крови. По условию задачи $X\sim{\ }N(m;0,35)$. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы:

${{H}_{0}}:m=9,$
$H':m>9.$

В альтернативной гипотезе выбран знак «больше» в силу того, что в данной задаче «критичной» является ситуация, когда математическое ожидание уровня нитроплазмидов в крови превосходит номинальный уровень 9 ед. – именно в этом случае будет принята альтернативная гипотеза и сделан вывод, что лечение должно быть прекращено. В случае же если в результате статистического анализа будет принята основная гипотеза, оснований считать, что математическое ожидание уровня нитроплазмидов в крови превосходит номинальный уровень 9 ед., нет.

Известно, что для статистической модели $X\sim{\ }N(m;0,35)$ с известной дисперсией оптимальной статистикой критерия является статистика:

$Z=\frac{\bar{X}-{{m}_{0}}}{{\sigma }/{\sqrt{n}}\;},$

при условии истинности основной гипотезы H₀ имеющая стандартизованное нормальное распределение N(0; 1). Здесь m₀ = 9, σ² = 0,35, n = 7.

Определим тип критической области. Маловероятными значениями статистики критерия Z при условии истинности основной гипотезы H₀ являются значения в хвостах нормального распределения N(0; 1). Однако, сформулированной альтернативной гипотезе H’ соответствуют лишь те значения статистики критерия Z, которые находятся в правом хвосте её распределения, – если m значимо больше 9 ед., то с высокой вероятностью $\bar{X}>9$, т.е. статистика Z будет принимать значения из правого хвоста распределения. Таким образом, область допустимых значений ${{\Omega }_{0}}=(-\infty ;{{z}_{0}})$, а критическая область $\Omega '=[{{z}_{0}};+\infty )$ является правосторонней.

Рассчитаем выборочное значение статистики критерия

$z=\frac{\bar{x}-9}{{\sqrt{0,35}}/{\sqrt{7}}\;}\approx \frac{9,11-9}{0,22}\approx 0,49$.

Критическая точка правосторонней критической области является квантилью стандартизованного нормального распределения на уровне (1 – α). По таблице квантилей находим

${{z}_{0}}={{u}_{0,99}}\approx 2,33$.

Так как z∈Ω₀, то основная гипотеза должна приниматься. Оснований считать, что средний уровень нитроплазмидов в крови превышает 9 ед., нет.

Экспериментальное исследование