Математическая статистика

Пример 1

Найти ММ-оценку параметров a и b по выборке x₁,…,x_n из равномерно распределённой генеральной совокупности $X\sim R(a;b)$.

Решение

Для построения системы уравнений (1) выберем два момента, например, математическое ожидание и дисперсию. Известно, что для случайной величины $X\sim R(a;b)$:

$\text{M}[X]=\frac{a+b}{2}$,

$\text{D}[X]=\frac{{{(b-a)}^{2}}}{12}$.

Таким образом, составим систему:

$ \begin{cases} \frac{a+b}{2}=\bar{x}, \\ \frac{{{(b-a)}^{2}}}{12}=D_{X}^{*}; \end{cases}$

решая которую получим точечные оценки $\tilde{a}=\bar{x}-\sqrt{3D_{X}^{*}}$, $\tilde{b}=\bar{x}+\sqrt{3D_{X}^{*}}$.

Пример 2

Найти МП-оценки параметров m и σ² по выборке x₁,…,x_n из нормально распределённой генеральной совокупности $X\sim N(m,\sigma )$.

Решение

Найдём функцию правдоподобия выборки x₁,…,x_n из генеральной совокупности $X\sim N(m,\sigma )$:

$L({{x}_{1}},...,{{x}_{n}};m,{{\sigma }^{2}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{{{f}_{X}}({{x}_{i}};m,{{\sigma }^{2}})}=$

$=\prod\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left( -\frac{{(x_i-m)}^2}{2\sigma^2}\right)}=$

$=\frac{1}{{{\sigma }^{n}}{{(2\pi )}^{n/2}}}\exp \left( -\frac{1}{2{{\sigma}^{2}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-m)}^{2}}} \right);$

$\ln L({{x}_{1}},...,{{x}_{n}};m,{{\sigma }^{2}})=-\frac{n}{2}\ln (2\pi {{\sigma }^{2}})-\frac{1}{2{{\sigma}^{2}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-m)}^{2}}}.$

Необходимые условия максимума функции правдоподобия:

$\begin{cases}\frac{\partial \ln L({{x}_{1}},...,{{x}_{n}};m,{{\sigma }^{2}})}{\partial m}=0, \\ \frac{\partial \ln L({{x}_{1}},...,{{x}_{n}};m,{{\sigma }^{2}})}{\partial {{\sigma }^{2}}}=0; \end{cases} $

$\begin{cases}\frac{1}{{{\sigma }^{2}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-m)}=0, \\ -\frac{n}{2{{\sigma }^{2}}}+\frac{1}{2{{\sigma }^{4}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-m)}^{2}}}=0; \end{cases} $

разрешая которые, получаем МП-оценки $\tilde{m}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}=\bar{x}$, ${{\tilde{\sigma}}^{2}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}=D_{X}^{*}$.