Математическая статистика

Критерий Манна-Уитни является ещё одним непараметрическим критерием проверки статистической гипотезы об однородности выборок:

${{H}_{0}}:{{F}_{X}}(\xi )={{F}_{Y}}(\xi )$,

$H':{{F}_{X}}(\xi )\ne {{F}_{Y}}(\xi )$.

Критерий был предложен Уилкоксоном (Frank Wilcoxon, 1945) и существенно переработан и расширен Манном и Уитни (Henry Mann, Donald Whitney, 1947). Критерий Манна-Уитни является одним из наиболее популярных непараметрических критериев проверки статистической гипотезы об однородности выборок. Другие названия критерия – критерий Манна-Уитни-Уилкоксона и критерий суммы рангов Уилкоксона (Mann-Whitney-Wilcoxon test, MWW-test, U-test).

Критерий Манна-Уитни использует тот факт, что если выборки ${{x}_{1}},...,{{x}_{{{n}_{X}}}}$ и ${{y}_{1}},...,{{y}_{{{n}_{Y}}}}$ получены из одной и той же генеральной совокупности, то элементы как первой, так и второй выборок в вариационном ряду ${{z}_{(1)}},...,{{z}_{(N)}}$ объединённой выборки ${{x}_{1}},...,{{x}_{{{n}_{X}}}},{{y}_{1}},...,{{y}_{{{n}_{Y}}}}$, $N={{n}_{X}}+{{n}_{Y}}$ – суммарный объём выборок, перемешаны равномерно.

Для оценки степени перемешивания данных двух выборок проводится ранжирование объединённой выборки ${{z}_{1}},...,{{z}_{N}}$. Рангом элемента z_i в выборке ${{z}_{1}},...,{{z}_{N}}$ называется его порядковый номер в вариационном ряду ${{z}_{(1)}},...,{{z}_{(N)}}$. Минимальный элемент ${{z}_{(1)}}$ выборки имеет ранг 1, максимальный элемент ${{z}_{(N)}}$ – ранг N. Если несколько выборочных значений в вариационном ряду равны, то им приписываются одинаковые ранги, равные среднему арифметическому из их порядковых номеров.

В результате ранжирования для выборки ${{z}_{1}},...,{{z}_{N}}$ получаем выборку соответствующих рангов ${{r}_{1}},...,{{r}_{N}}$. Обозначим через R_X – сумму рангов в ряду ${{r}_{1}},...,{{r}_{N}}$, соответствующих элементам из первой выборки, R_Y – элементам из второй выборки.

Несложно показать, что

$\frac{{{n}_{X}}({{n}_{X}}+1)}{2}\le {{R}_{X}}\le \frac{{{n}_{X}}({{n}_{X}}+1)}{2}+{{n}_{X}}{{n}_{Y}}$,

$\frac{{{n}_{Y}}({{n}_{Y}}+1)}{2}\le {{R}_{Y}}\le \frac{{{n}_{Y}}({{n}_{Y}}+1)}{2}+{{n}_{X}}{{n}_{Y}}$.

Минимальное значение $\frac{{{n}_{X}}({{n}_{X}}+1)}{2}$ суммы рангов R_X элементов первой выборки достигается, когда все они преобладают на левом конце объединённого вариационного ряда, максимальное значение ${{n}_{X}}{{n}_{Y}}+\frac{{{n}_{X}}({{n}_{X}}+1)}{2}$ – когда на правом.

Введём статистики U_X и U_Y, линейно связанные с суммами рангов R_X и R_Y:

${{U}_{X}}={{n}_{X}}{{n}_{Y}}+\frac{{{n}_{X}}({{n}_{X}}+1)}{2}-{{R}_{X}}, \ \ \ \ 0\le {{U}_{X}}\le {{n}_{X}}{{n}_{Y}}$,

${{U}_{Y}}={{n}_{X}}{{n}_{Y}}+\frac{{{n}_{Y}}({{n}_{Y}}+1)}{2}-{{R}_{Y}}, \ \ \ \ \ 0\le {{U}_{Y}}\le {{n}_{X}}{{n}_{Y}}$,

${{U}_{X}}+{{U}_{Y}}={{n}_{X}}{{n}_{Y}}$.

В качестве меры степени перемешивания элементов двух выборок в критерии Манна-Уитни используется любая из статистик U_X или U_Y. При равномерном перемешивании элементов выборочные значения статистик U_X и U_Y будут близки к их средним по диапазону изменения значениям ${{{n}_{X}}{{n}_{Y}}}/{2}\;$.

При условии истинности основной гипотезы H₀ при ${{n}_{X}}\to \infty $, ${{n}_{Y}}\to \infty $ закон распределения статистик U_X и U_Y не зависит от вида функций F_X(x) и F_Y(y), причём их распределение стремится к нормальному:

$U_X\sim{\ }N\left( \frac{{{n}_{X}}{{n}_{Y}}}{2},\sqrt{\frac{{{n}_{X}}{{n}_{Y}}({{n}_{X}}+{{n}_{Y}}+1)}{12}} \right)$.

В качестве статистики критерия выберем любую из стандартизованных статистик U_X и U_Y (например, U_X):

$Z=\frac{{{U}_{X}}-\frac{{{n}_{X}}{{n}_{Y}}}{2}}{\sqrt{\frac{{{n}_{X}}{{n}_{Y}}({{n}_{X}}+{{n}_{Y}}+1)}{12}}}$,

которая при условии истинности H₀ имеет распределение ${{f}_{Z}}(z|{{H}_{0}})\sim{\ }N(0,\ 1)$. На практике распределение статистики Z можно аппроксимировать нормальным уже при n_X > 10, n_Y > 10, что делает критерий Манна-Уитни применимым для проверки гипотезы об однородности для малых выборок.

Основная гипотеза H₀ должна отклоняться при больших отличиях статистики U_X от среднего значения ${{{n}_{X}}{{n}_{Y}}}/{2}\;$, т.е. в области больших по модулю значений статистики критерия Z. Таким образом, критическая область для статистики Z должна выбираться двусторонней.

Пример 1