Математическая статистика

1. Оценки математического ожидания

1) Оптимальной оценкой математического ожидания является выборочное среднее

$\tilde{m}=\bar{X}$.

Оценка является несмещённой, состоятельной, эффективной.

2) На практике нередко возникает необходимость быстрой оценки математического ожидания. Такой оценкой может быть

$\tilde{m}=\frac{{{X}_{\min }}+{{X}_{\max }}}{2}$.

Оценка является состоятельной и, по крайней мере, асимптотически несмещённой и асимптотически эффективной.

3) В качестве оценки математического ожидания симметричного распределения может быть использована выборочная медиана

$\tilde{m}=x_{0,5}^{*}$.

Можно показать, что при больших объёмах выборки распределение статистики $X_{0,5}^{*}$ аппроксимируется нормальным распределением $N\left( m,\sigma\sqrt{\frac{\pi }{2n}} \right)$. Таким образом, эффективность выборочной медианы как оценки математического ожидания равна

$e(X_{0,5}^{*})=\frac{1/{{I}_{n}}(m)}{\pi {{\sigma }^{2}}/2n}=\frac{{{\sigma }^{2}}/n}{\pi {{\sigma }^{2}}/2n}=\frac{2}{\pi }\approx 64 \%$.

Оценка является состоятельной, несмещённой, но неэффективной.

4) Рассмотрим две выборки объёмов n₁ и n₂ из одной генеральной совокупности. Пусть ${{\bar{X}}_{1}}$ и ${{\bar{X}}_{2}}$ – выборочные средние. Тогда агрегированная оценка математического ожидания генеральной совокупности:

$\tilde{m}=\frac{{{n}_{1}}{{{\bar{X}}}_{1}}+{{n}_{2}}{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{n}_{1}}+{{n}_{2}}}$

является несмещённой, состоятельной, эффективной.

2. Оценки дисперсии

1) Оптимальной оценкой дисперсии является исправленная выборочная дисперсия:

${{\tilde{\sigma }}^{2}}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{X}_{i}}-\bar{X})}^{2}}}$.

Оценка является несмещённой, состоятельной, эффективной.

2) Выборочная дисперсия

${{\tilde{\sigma }}^{2}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{X}_{i}}-\bar{X})}^{2}}}$.

Оценка является асимптотически несмещённой, состоятельной, асимптотически эффективной.

3) На практике нередко возникает необходимость быстрой оценки дисперсии. Такой оценкой может быть

${{\tilde{\sigma }}^{2}}={{\left( \frac{{{X}_{\max }}-{{X}_{\min }}}{5} \right)}^{2}}$.

Оценка является грубой, для большинства распределений смещённой и неэффективной.

4) В случае если известно математическое ожидание m генеральной совокупности, оптимальной оценкой дисперсии является статистика:

${{\tilde{\sigma }}^{2}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{X}_{i}}-m)}^{2}}}$.

Оценка является несмещённой, состоятельной, эффективной.

5) Рассмотрим две выборки объёмов n₁ и n₂ из одной генеральной совокупности. Пусть $S_{1}^{2}$ и $S_{2}^{2}$ – исправленные выборочные дисперсии. Тогда агрегированная оценка дисперсии генеральной совокупности

${{\tilde{\sigma }}^{2}}=\frac{({{n}_{1}}-1)S_{1}^{2}+({{n}_{2}}-1)S_{2}^{2}}{{{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2}$

является несмещённой, состоятельной, эффективной.