Математическая статистика

Пример 1

Пусть x₁,…,x_n – выборка наблюдений нормально распределённой случайной величины $X\sim{\ }N(m,\sigma )$. Найти доверительный интервал для математического ожидания m при доверительной вероятности 1–α, если дисперсия генеральной совокупности σ² известна.

Решение

Будем строить центральную статистику на основе эффективной оценки математического ожидания $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{X}_{i}}}$. Все выборочные наблюдения имеют распределение генеральной совокупности, т.е. ${{X}_{i}}\sim{\ }N(m,\sigma )$, $i=\overline{1,n}$. Учитывая композиционную устойчивость нормального распределения, случайная величина $\bar{X}$также будет иметь нормальное распределение. Применяя свойства математического ожидания и дисперсии, получим $\text{M}[\bar{X}]=m$, $\text{D}[\bar{X}]=\frac{{{\sigma }^{2}}}{n}$, т.е. $\bar{X}\sim{\ }N\left( m,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$. Введём статистику $Z({{X}_{1}},...,{{X}_{n}};m)=\frac{\bar{X}-m}{\sigma /\sqrt{n}}$, имеющую распределение N(0, 1). Для статистики Z выполнены все требования, предъявляемые к центральным статистикам.

Запишем тождество (1) для статистики Z:

$P\left( {{u}_{\alpha /2}}<\frac{\bar{X}-m}{\sigma /\sqrt{n}}<{{u}_{1-\alpha /2}} \right)=1-\alpha $,

где ${{u}_{\alpha /2}}$ и ${{u}_{1-\alpha /2}}$ – квантили стандартизованного нормального распределения на уровнях α/2 и 1­-α/2 соответственно.

Разрешая неравенство под знаком вероятности относительно m и учитывая симметричность нормального распределения ( ${{u}_{\alpha /2}}=-{{u}_{1-\alpha /2}}$), получим

$P\left( \bar{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{{u}_{1-\alpha /2}}<m<\bar{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{{u}_{1-\alpha /2}} \right)=1-\alpha $,

откуда следует, что интервал $\left( \bar{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{{u}_{1-\alpha /2}};\bar{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{{u}_{1-\alpha /2}} \right)$ является доверительным для m.