Математическая статистика

1. Что в математической статистике называется статистикой?

2. Дайте определения точечной оценки и реализации точечной оценки неизвестного параметра q.

3. Какую точечную оценку называют состоятельной?

4. Сформулируйте достаточное условие состоятельности.

5. Какую точечную оценку называют несмещённой?

6. Какую точечную оценку называют асимптотически несмещённой?

7. Приведите пример несмещённой, но несостоятельной оценки. Приведите пример состоятельной, но смещённой оценки.

8. В каком случае точечная оценка $\tilde{\theta }$ более эффективна, чем точечная оценка $\hat{\theta }$ неизвестного параметра θ?

9. Сформулируйте неравенство Рао-Крамера.

10. Что называется эффективностью точечной оценки? Какую точечную оценку называют эффективной?

11. Сформулируйте критерий эффективности точечной оценки.

12. Что называется вкладом выборки?

13. Что называется информацией Фишера о неизвестном параметре θ, содержащейся в одном выборочном наблюдении?

14. Какую точечную оценку называют асимптотически эффективной?

15. Покажите, что выборочная дисперсия является состоятельной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

16. Покажите, что если $\tilde{\theta }$ – несмещённая оценка параметра θ, то ${{\tilde{\theta }}^{2}}$ будет смещённой оценкой параметра θ².

17. Покажите, что статистика $S_{X}^{{}}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{X}_{i}}-\bar{X})}^{2}}}}$ является смещённой оценкой среднеквадратичного отклонения σ генеральной совокупности.

18. Покажите, что статистика X₁, равная первому элементу случайной выборки X₁,…,X_n является несмещённой. Является ли эта оценка состоятельной? Является ли эта оценка эффективной для нормально распределённой генеральной совокупности?