Математическая статистика

Критерии согласия и однородность выборок

Критерий "омега-квадрат"



Из вида метрики Колмогорова (1*) следует, что она хорошо различает функции распределения $F_{n}^{*}(x)$ и G(x), отличающиеся друг от друга достаточно сильно пусть даже в одной единственной точке x. Если же $F_{n}^{*}(x)$ отличается от G(x) на довольно широком интервале (или на всей числовой оси), но везде не очень сильно, то величина Dn будет невелика, и критерий Колмогорова может ложно принять основную гипотезу H0, в то время как на самом деле распределения FX(x, θ) и G(x) различны. Этот факт свидетельствует о высокой вероятности ошибки второго рода при проверке статистической гипотезы о равенстве распределений, что делает критерий Колмогорова маломощным.

Этот недостаток критерия Колмогорова может быть устранён при использовании другой метрики для расчёта рассогласования между двумя распределениями, называемой метрикой «омега-квадрат», – в непрерывном случае:

$\Delta \left( F_{n}^{*}(x),G(x) \right)=\omega _{n}^{2}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| F_{n}^{*}(x)-G(x) \right|}^{2}}dx}$,

в дискретном случае:

$\Delta \left( F_{n}^{*}(x),G(x) \right)=\omega _{n}^{2}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left| F_{n}^{*}({{x}_{i}})-G({{x}_{i}}) \right|}^{2}}}$.

(1)

Статистика критерия, основанная на данной метрике, называется статистикой Крамера-Мизеса (Harald Cramer, Richard Edler von Mises, 1930), или статистикой «омега-квадрат»:

${{Z}_{n}}=n\omega _{n}^{2}$,

для которой показано, что при условии истинности основной гипотезы H0 при $n\to \infty $ её закон распределения не зависит от вида функции G(x) и стремится к распределению «омега-квадрат».

Приближённо полагая при больших n (n > 40), что ${{Z}_{n}}\sim{\ }{{\omega }^{2}}$, для статистики критерия может быть рассчитан любой квантиль, используя таблицу. Некоторые критические точки распределения «омега-квадрат» и соответствующие им уровни значимости приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Таблица квантилей распределения «омега-квадрат»

α

0,005

0,01

0,025

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

z1–α

0,87

0,75

0,58

0,46

0,35

0,28

0,24

0,21

Аналогично критерию Колмогорова, в критерии «омега-квадрат» критическая область выбирается правосторонней.

На практике для вычисления рассогласования $\omega _{n}^{2}$ между ЭФР $F_{n}^{*}(x)$ и G(x) по выборке x1,…,xn удобно использовать формулу

$\omega _{n}^{2}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( G({{x}_{(i)}})-\frac{2i-1}{2n} \right)}^{2}}}$,

(2)

где ${{x}_{(1)}},...,{{x}_{(n)}}$ – вариационный ряд выборки.

Пример 1