Математическая статистика

Пример 1

Исследуется действие психологического тренинга на уровень тревожности испытуемых, измеряемый с помощью специального теста. В результате выборочного тестирования n = 14 испытуемых получены следующие результаты.

Определить, является ли действие тренинга на уровень тревожности статистически значимым при уровне значимости α = 10%, используя критерий знаков.

Решение

Действие тренинга на уровень тревожности будет статистически значимым, если случайные величины X и Y – уровни тревожности испытуемых до и после тренинга соответственно имеют различные законы распределения.

Сформулируем основную и альтернативную статистические гипотезы:

${{H}_{0}}:{{F}_{X}}(\xi )={{F}_{Y}}(\xi )$,

$H':{{F}_{X}}(\xi )\ne {{F}_{Y}}(\xi )$,

где F_X(x) и F_Y(y) – функции распределения случайных величин X и Y соответственно.

Выборка из знаков разностей между выборочными значениями уровня тревожности после и до тренинга:

+, 0, –, –, –, +, +, –, –, +, –, –, +, –

Ноль из рассмотрения исключаем, далее полагаем n = 13. Частота знаков «+» h = 5 / 13 ≈ 0,38.

Найдём выборочное значение статистики критерия (3):

$z=2\sqrt{13}\cdot (0,38-0,5)\approx -0,87$.

Аппроксимируем закон распределения статистики критерия при условии истинности основной гипотезы стандартизованным нормальным распределением N(0, 1). По таблицам математической статистики находим квантиль на уровне 1–α/2:

${{z}_{0,95}}=1,65$.

Таким образом, область допустимых значений ${{\Omega }_{0}}=(-1,65;1,65)$. Поскольку $z=-0,87\in {{\Omega }_{0}}$, то оснований считать, что гипотеза H₀ не согласуется с экспериментальными данными, нет. Утверждать, что психологический тренинг оказал значимое действие на уровень тревожности испытуемых, нельзя.