Математическая статистика
Критерии согласия и однородность выборок
Проверка гипотез об однородности выборок. Критерий знаков
Исследуется действие психологического тренинга на уровень тревожности испытуемых, измеряемый с помощью специального теста. В результате выборочного тестирования n = 14 испытуемых получены следующие результаты.
№ испытуемого |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Уровень до тренинга |
30 |
39 |
35 |
34 |
40 |
35 |
22 |
Уровень после тренинга |
34 |
39 |
26 |
33 |
34 |
40 |
25 |
№ испытуемого |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
Уровень до тренинга |
22 |
32 |
23 |
16 |
34 |
33 |
34 |
Уровень после тренинга |
21 |
30 |
24 |
15 |
27 |
35 |
30 |
Определить, является ли действие тренинга на уровень тревожности статистически значимым при уровне значимости α = 10%, используя критерий знаков.
Решение
Действие тренинга на уровень тревожности будет статистически значимым, если случайные величины X и Y – уровни тревожности испытуемых до и после тренинга соответственно имеют различные законы распределения.
Сформулируем основную и альтернативную статистические гипотезы:
${{H}_{0}}:{{F}_{X}}(\xi )={{F}_{Y}}(\xi )$,
$H':{{F}_{X}}(\xi )\ne {{F}_{Y}}(\xi )$,
где FX(x) и FY(y) – функции распределения случайных величин X и Y соответственно.
Выборка из знаков разностей между выборочными значениями уровня тревожности после и до тренинга:
+, 0, –, –, –, +, +, –, –, +, –, –, +, –
Ноль из рассмотрения исключаем, далее полагаем n = 13. Частота знаков «+» h = 5 / 13 ≈ 0,38.
Найдём выборочное значение статистики критерия (3):
$z=2\sqrt{13}\cdot (0,38-0,5)\approx -0,87$.
Аппроксимируем закон распределения статистики критерия при условии истинности основной гипотезы стандартизованным нормальным распределением N(0, 1). По таблицам математической статистики находим квантиль на уровне 1–α/2:
${{z}_{0,95}}=1,65$.
Таким образом, область допустимых значений ${{\Omega }_{0}}=(-1,65;1,65)$. Поскольку $z=-0,87\in {{\Omega }_{0}}$, то оснований считать, что гипотеза H0 не согласуется с экспериментальными данными, нет. Утверждать, что психологический тренинг оказал значимое действие на уровень тревожности испытуемых, нельзя.